Giovanni Saccheri

(Giovanni Girolamo o Gerolamo Saccheri; San Remo, 1667 - Milán, 1733) Matemático italiano. Miembro de la Compañía de Jesús, fue catedrático de matemáticas en la Universidad de Pavía. Escribió Euclides ab omni naevo vindicatus, obra sobre la teoría de las paralelas en la que estableció diversas proposiciones que entroncan con ciertos teoremas de la geometría no euclídea.

Giovanni Saccheri ingresó en 1685 en la Compañía de Jesús, y estudió los Elementos de Euclides bajo la guía del geómetra Tommaso Ceva. Desde 1699 hasta el fin de sus días enseñó matemáticas en la universidad de Pavía. La obra fundamental de Saccheri, publicada el mismo año de su muerte, es Euclides ab omni naevo vindicatus (Euclides reivindicado), de la cual resulta premisa esencial Lógica demostrativa (1697). En ella el autor anticipa los criterios lógicos modernos empleados en el examen de la dependencia de los postulados, y desarrolla singularmente una forma original de razonamiento "a contrario" (una proposición es verdadera si su negación "se destruye a sí misma", es decir, si de su negación se puede deducir la proposición misma). Esta particular técnica demostrativa fue aplicada por Saccheri en su Euclides al postulado de las paralelas. Aun cuando vinculada a la geometría no euclidiana (hiperbólica) de Nikolai Lobachevski y Janos Bólyai, ni uno ni otro conocieron la obra de Saccheri, por cuanto ésta no fue redescubierta y apreciada hasta 1889.

El Euclides de Saccheri (cuyo título original completo es Euclides ab omni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia) fue publicado en Milán en 1733, en dos libros, de dos partes cada uno. El tema del primer libro lo da el quinto postulado de Euclides. Desde la antigüedad muchos otros geómetras habían hecho notar que este postulado es por naturaleza distinto de todos los demás y mucho menos evidente; pero cuantos habían intentado su demostración, únicamente habían conseguido sustituirlo por otros postulados sólo en apariencia más evidentes.

Giovanni Saccheri quiso, en cambio, prescindir del quinto postulado y demostrar que, negándolo, se incurre en contradicción. Empezó considerando un cuadrilátero plano con tres ángulos rectos: prescindiendo del quinto postulado, el cuarto ángulo podía ser agudo, recto u obtuso. La segunda hipótesis equivale a admitir el quinto postulado y se deduce de él toda la ordinaria geometría euclidiana. La hipótesis primera y tercera conducen, en cambio, a dos construcciones geométricas muy distintas y lógicamente impecables: la geometría hiperbólica y la geometría elíptica, llamadas, ambas, "geometrías no euclidianas".

Saccheri estaba convencido a priori de la verdad de la geometría euclidiana, y mientras desarrollaba varias proposiciones de las geometrías hiperbólica y elíptica, buscaba, sin conseguirlo, descubrir posibles contradicciones para demostrar su falsedad. Por este camino Saccheri llegó a algunos teoremas que en el siglo siguiente volvieron a hallarse, con otros métodos, por Nikolai Lobachevski (1793-1856) y por Janos Bólyai (1802-1860). El mérito de Saccheri radica, pues, en haber sido el primero en tratar de construir un edificio geométrico independiente del quinto postulado.

El segundo libro del Euclides de Saccheri es mucho menos importante que el primero y constituye un comentario a la definición sexta del libro quinto de Euclides y a la definición quinta del libro sexto. La obra quedó olvidada casi por completo hasta que Beltrami (1835-1900) atrajo sobre ella la atención de los estudiosos en su artículo Un precursor italiano de Legendre y de Lobachevski (1889). Es difícil precisar la influencia de la obra de Saccheri sobre los geómetras posteriores.