Pierre de Fermat

(Beaumont, Francia, 1601 - Castres, id., 1665) Matemático francés. Continuador de la obra de Diofanto en el campo de los números enteros y cofundador del estudio matemático de la probabilidad, junto con Pascal, y de la geometría analítica, junto con Descartes, Pierre de Fermat mantuvo correspondencia con los grandes científicos de su época y gozó ya en vida de gran estima e inmensa reputación, si bien su natural modestia y su modo de trabajar, en exceso diletante, perjudicó la divulgación de sus aportaciones.

Biografía

La existencia de este ilustre matemático fue ciertamente sencilla y prosaica, y se conoce poco de sus primeros años. Hijo de Dominique Fermat, burgués y segundo cónsul de Beaumont, estudió leyes en Toulouse y quizá en Burdeos para poder aspirar al ejercicio de la magistratura; llegado, en efecto, a consejero del Parlamento de la ciudad de Toulouse, fue progresando allí en su labor lenta y tranquilamente, distinguiéndose por su probidad, su tacto y sus corteses maneras.


Pierre de Fermat

Interesado por las matemáticas, consagró a ellas su tiempo de ocio, y hacia 1637 figuraba entre los principales cultivadores europeos de esta ciencia. Hizo amistad con el matemático Carcavi, quien le relacionó con el padre Marin Mersenne, amigo de todos los doctos franceses de la época. El padre Mersenne le puso en contacto con Roberval y con el gran René Descartes (1637).

El trato con el difícil e inquieto genio de Descartes no resultaba fácil para nadie, ni tampoco lo fue para Pierre de Fermat, a pesar de su discreción: ambos discutieron sobre cuestiones científicas (la infracción de la luz y el método de los máximos y mínimos). Fueron necesarias la mediación de Roberval y toda la prudencia de Fermat para mantener por lo menos fríamente correctas las relaciones personales entre los dos sabios. Muy viva, en cambio, fue la amistad entre Fermat y otro gran matemático de la época, Blaise Pascal; ambos se conocieron también gracias a Carcavi.

De talante modesto, Pierre de Fermat sólo llego a dar a la imprenta su monografía Dissertatio geometrica de linearum curvarum comparatione, e hizo públicos algunos de sus mayores descubrimientos sólo por medio de breves comunicaciones verbales y epistolares. Ello bastó para darlo a conocer como uno de los grandes matemáticos del momento, pero sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar redujeron en gran medida el impacto de su obra, extremadamente prolífica. Tenía por ejemplo la costumbre de anotar, en los márgenes de los libros que leía, sus ideas y sus descubrimientos, desgraciadamente sin sus demostraciones, por falta de espacio. Superando no pocas dificultades, sus escritos fueron publicados póstumamente por su hijo Samuel en 1679, en un volumen titulado Varia opera matemática D. Petri de Fermat: Senatoris Tolosani.

Investigaciones matemáticas

Las primeras aportaciones de Pierre de Fermat datan de 1629, cuando abordó la tarea de reconstruir algunas de las demostraciones perdidas del matemático griego Apolonio de Perga relativas a los lugares geométricos; a tal efecto desarrollaría, contemporánea e independientemente de René Descartes, un método algebraico para tratar cuestiones de geometría por medio de un sistema de coordenadas, de capital importancia para la constitución de la geometría analítica. Sirviéndose de los símbolos de François Viète, trató ampliamente la ecuación de la recta, y las de la hipérbola, la parábola y la circunferencia.

Fermat se sitúa asimismo entre los matemáticos que dieron el primer impulso al cálculo infinitesimal, y fue el primero en estudiar las cuestiones de máximo y mínimo (desde 1636) con el método que hoy llamamos de las "derivadas", aprovechando una genial intuición que se presenta por primera vez en la obra del prelado francés Nicolás de Oresme. Diseñó un algoritmo de diferenciación mediante el cual pudo determinar los valores máximos y mínimos de una curva polinómica y trazar las correspondientes tangentes, logros todos ellos que abrieron el camino al desarrollo ulterior del cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz.

En el ámbito de la óptica geométrica, tras asumir correctamente que cuando la luz se desplaza en un medio más denso su velocidad disminuye, demostró que el camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo le cuesta recorrer; de dicho principio, denominado principio de Fermat, se deducen las leyes de la reflexión y la refracción. En 1654, y como resultado de una larga correspondencia, desarrolló con Blaise Pascal los principios de la teoría de la probabilidad.


Anotaciones de Fermat en el margen
de una obra de Apolonio

Otro campo en el que realizó originales aportaciones fue el de la teoría de números, en la que empezó a interesarse tras consultar una edición de la Aritmética de Diofanto; precisamente en el margen de una página de dicha edición fue donde anotó el que sería llamado Último teorema de Fermat, que tardaría más de tres siglos en demostrarse. Puede decirse que el estudio metódico de las propiedades de los números enteros comienza realmente con Fermat, razón por la que ha sido considerado el verdadero creador de la teoría de los números, a la cual matemáticos antiguos como Pitágoras, Euclides y Diofanto habían dado apenas comienzo.

De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados relacionados con las propiedades de los números primos, muchas de las cuales quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas. Desagraciadamente, todo lo que llegado hasta nosotros está contenido casi exclusivamente en los estrechos márgenes de un ejemplar de Diofanto y en algunos fragmentos de su correspondencia. Fermat desarrolló también un ingenioso método de demostración que denominó «del descenso infinito».

El Último teorema de Fermat

A pesar de tantas y tan valiosas aportaciones, el nombre del insigne matemático francés se halla con frecuencia asociado a uno de los más fascinantes enigmas de la historia de las matemáticas. Cuando preparaba la edición de las obras completas de su padre, Samuel de Fermat encontró una singular anotación en una de las páginas de la Aritmética de Diofanto.

En ella, Fermat afirmaba que la ecuación xn+yn=zn no tiene solución entera positiva si el valor del exponente n es superior a 2. Dicho de otro modo: la suma de dos cuadrados puede equivaler a un tercer cuadrado, como ocurre en la igualdad 32+42=52, pero es imposible hallar una igualdad semejante entre números enteros positivos elevados al cubo, a la cuarta potencia, a la quinta potencia, etc.

En la misma nota, Fermat decía haber hallado una demostración maravillosa de este hecho, pero demasiado larga para ser consignada en el margen de un libro. Durante los tres siglos que siguieron a la publicación se sucedieron sin descanso los intentos de demostrar este teorema de Fermat, tan difícil de probar que en ciertos momentos pasó a llamarse hipótesis de Fermat. Los nombres de Leonhard Euler, Sophie Germain, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Gabriel Lamé, Augustin-Louis Cauchy o Ernst Eduard Kummer dan una idea del número de grandes matemáticos que no pudieron resistir la tentación de probar suerte.

En 1908, la impaciencia por encontrar solución a un misterio que cumplía ya 250 años llevó a Paul Wolfskehl (un industrial alemán que se salvó del suicidio merced al interés despertado en él por un artículo de Kummer acerca del teorema de Fermat) a dejar en su testamento un premio de cien mil marcos para quien supiera hallarle una demostración antes de cien años. Se dice que sólo durante los cuatro años siguientes a su fallecimiento se publicaron más de mil pruebas falsas.

Los esfuerzos por demostrar el teorema fructificaron en aportaciones interesantísimas para la evolución del álgebra abstracta, como las del propio Kummer y su teoría de los números ideales. El último capítulo de la historia empezó a escribirse en 1955, fecha en que Yutaka Taniyama abordó el estudio de la relación entre las formas modulares y las ecuaciones elípticas. Taniyama no supo encontrar en las matemáticas el consuelo que le proporcionaron a Wolfskehl, y se suicidó en 1957. No obstante, sobre la base de sus trabajos y los de su compañero Goro Shimura, se asentó la conjetura que, tras los trabajos de Weil, sería llamada conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.

André Weil, toda una personalidad en la actual teoría de números, dio a conocer la conjetura a la comunidad matemática europea y estadounidense. En 1984, Gerhard Frey estableció la existencia de un vínculo entre dicha conjetura y el Último teorema de Fermat, de manera que la demostración de la primera debe tener como consecuencia inmediata la certeza del segundo, el cual se convierte de este modo en expresión de un hecho relativo a las propiedades fundamentales del espacio.

Nueve años después, la demostración fue finalmente completada por Andrew Wiles, matemático británico y profesor en la Universidad estadounidense de Princeton, quien, tras limar algunos aspectos, la publicó en su forma definitiva en mayo de 1995, en la revista Annals of Mathematics. En junio de 1997, en solemne ceremonia, los miembros de la Königliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga entregaron a Andrew Wiles el premio creado por Paul Wolfskehl noventa años antes. El misterio que nunca quedará resuelto es si realmente Pierre de Fermat había encontrado una demostración de su teorema, y, en caso afirmativo, si era válida, y en caso de serlo, en que podía consistir, ya que para la demostración de Wiles se emplearon conceptos matemáticos completamente desconocidos en la época de Fermat.